Question

20．若函数f（x）=lg（1+x）-lg（1+ax）是奇函数，则实数a的值是-1．

Answer 1

分析 利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即lg（1-x）-lg（1-ax）=-lg（1+x）+lg（1+ax），
即lg（1-x）+lg（1+x）=lg（1+ax）+lg（1-ax），
即lg（1-x²）=lg（1-a²x²），
即1-x²=1-a²x²，
则a²=1，得a=1或a=-1，
当a=1时，f（x）=lg（1+x）-lg（1+x）=0，由1+x＞0得x＞-1，定义域关于原点不对称，
则函数为非奇非偶函数，不满足条件．
当a=-1时，f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）是奇函数，满足条件．
故答案为：-1

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．