Question

5．已知函数f（x）=x|x-a|+3x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=3x+1图象的下方．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=x|x-a|+3x=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（3-a）x，x≥a\\-{x}^{2}+（3+a）x，x＜a\end{array}\right.$，由f（x）在R上是增函数，则$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{a-3}{2}\\ a≤\frac{a+3}{2}\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围；
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，进而可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x|x-a|+3x=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+（3-a）x，x≥a\\-{x}^{2}+（3+a）x，x＜a\end{array}\right.$  …（2分）
由f（x）在R上是增函数，则$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{a-3}{2}\\ a≤\frac{a+3}{2}\end{array}\right.$…（4分）
即-3≤a≤3，
所以a的取值范围为-3≤a≤3．…（6分）
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，
f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1，
即|x-a|＜$\frac{1}{x}$，
即-$\frac{1}{x}$＜x-a＜$\frac{1}{x}$，
即x-$\frac{1}{x}$＜a＜x+$\frac{1}{x}$，
故只要x-$\frac{1}{x}$＜a且a＜x+$\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]时，只要x-$\frac{1}{x}$的最大值小于a且x+$\frac{1}{x}$的最小值大于a即可，…（8分）
而当x∈[1，2]时，y=x-$\frac{1}{x}$单调递增，所以x-$\frac{1}{x}$的最大值为$\frac{3}{2}$；…（11分）
当x∈[1，2]时，y=x+$\frac{1}{x}$单调递增，所以x+$\frac{1}{x}$的最小值为2…（14分）
所以$\frac{3}{2}$＜a＜2．…（16分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，函数的最值，难度中档．