Question

14．已知某校5个学生的数学和物理成绩如表

学生的编号i	1	2	3	4	5
数学xi	80	75	70	65	60
物理yi	70	66	68	64	62

（Ⅰ）假设在对这5名学生成绩进行统计时，把这5名学生的物理成绩搞乱了，数学成绩没出现问题，问：恰有2名学生的物理成绩是自己的实际分数的概率是多少？
（Ⅱ）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩具有很强的线性相关关系的，在上述表格是正确的前提下，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y与x的回归方程；
参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat{b}$x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是A₅⁵，满足条件的事件是恰好有两个是自己的实际分，共有2C₅⁵，根据等可能事件的概率得到结果．
（Ⅱ）分别做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再做出a的值，写出线性回归方程，得到结果．

解答 解：（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是A₅⁵，
满足条件的事件是恰好有两个是自己的实际分，共有2C₅²，
∴恰有两个人是自己的实际分的概率是$\frac{2{C}_{5}^{2}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{6}$；
（Ⅱ）$\overline{x}$=70，$\overline{y}$=66，
$\widehat{b}$=$\frac{80×70+75×66+70×68+65×64+60×62-5×70×66}{8{0}^{2}+7{5}^{2}+7{0}^{2}+6{5}^{2}+6{0}^{2}-5×7{0}^{2}}$=0.36，
∴$\stackrel{∧}{a}$=40.8，
∴回归直线方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.36x+40.8．

点评 本题考查变量间的相关关系，考查回归分析的应用，考查概率的计算，是一个中档题．