Question

14．已知函数f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$．
（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜-3或x＞-2}，则k的值等于-$\frac{2}{5}$；
（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{6}$，+∞）．

Answer 1

分析 （1）根据不等式和方程之间的关系，转化为方程进行求解即可．
（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等等价于t≥$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$=$\frac{2}{x+\frac{6}{x}}$恒成立，根据基本不等式即可求出．

解答 解：（1）：f（x）＞k?kx²-2x+6k＜0．
由已知{x|x＜-3，或x＞-2}是其解集，
得kx²-2x+6k=0的两根是-3，-2．
由根与系数的关系可知（-2）+（-3）=$\frac{2}{k}$，
解得k=-$\frac{2}{5}$，
（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等价于t≥$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$=$\frac{2}{x+\frac{6}{x}}$恒成立，
∵x+$\frac{6}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{6}{x}}$=2$\sqrt{6}$，当且仅当x=$\sqrt{6}$时取等号，
∴t≥$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故答案为：（1）：-$\frac{2}{5}$，（2）：[$\frac{\sqrt{6}}{6}$，+∞）

点评 本题主要考查不等式的应用以及不等式恒成立的问题，根据不等式的解集和方程的根之间的关系是解决本题的关键，属于中档题