Question

3．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，椭圆C的右焦点到直线x=$\frac{a}{e}$的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，椭圆C的下顶点为D．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过D点作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于点P，M．求证：直线PM经过一定点．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{a}{e}$-c=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，a²=b²+c²．联立解出即可得出．
（2）设DP的方程为：y=kx-1，（k≠0），则DM的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x-1．分别与椭圆方程联立可得点P，M，利用点斜式可得直线PM的方程，令x=0，解得y，即可得出直线PM经过一定点．

解答 解：（1）由题意可得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{a}{e}$-c=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
a²=b²+c²．
联立解得：a=3，c=2$\sqrt{2}$，b=1．
∴椭圆C的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1．
证明：（2）D（0，-1），设DP的方程为：y=kx-1，（k≠0），
则DM的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x-1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，化为（1+9k²）x²-18kx=0，
解得x=0或$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$．
则x_P=$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$，可得y_P=kx_P-1=$\frac{9{k}^{2}-1}{1+9{k}^{2}}$．
∴P$（\frac{18k}{1+9{k}^{2}}，\frac{9{k}^{2}-1}{1+9{k}^{2}}）$．
同理可得：M$（\frac{-18k}{{k}^{2}+9}，\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}）$，
k_PM=$\frac{\frac{9{k}^{2}-1}{1+9{k}^{2}}-\frac{9-{k}^{2}}{{k}^{2}+9}}{\frac{18k}{1+9{k}^{2}}-\frac{-18k}{{k}^{2}+9}}$=.$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$
∴直线PM的方程为：y-$\frac{9{k}^{2}-1}{1+9{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$$（x-\frac{18k}{1+9{k}^{2}}）$，
令x=0，则y=$\frac{9{k}^{2}-1}{1+9{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$×$\frac{18k}{1+9{k}^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
∴直线PM经过一定点$（0，\frac{4}{5}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．