Question

18．已知数列{a_n}前n项和满足S_n-S_n-1=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2），a₁=1，则a_n=2n-1．

Answer 1

分析 利用平方差公式对题设中的等式化简整理求得$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，进而根据等差数列的定义判断出数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是一个首项为1公差为1的等差数列．进而根据首项和公差求得数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}的通项公式，进而根据a_n=S_n-S_n-1求得a

解答 解：S_n-S_n-1=（$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$）（$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$）=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2），
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1
∴数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是一个首项为1公差为1的等差数列．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）×1=n，
∴S_n=n²．
当n≥2，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
a₁=1适合上式，
∴a_n=2n-1，
故答案为：2n-1

点评 本题主要考查了等差关系的确定和递推公式，属于中档题．