Question

13．抛物线y²=8x与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，且该焦点到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为（　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• B． y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$-y²=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1

Answer 1

分析 先求出抛物线的焦点坐标，即可得到c=2，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离求出b的值，再求出a，问题得以解决．

解答 解：∵抛物线y²=8x中，2p=8，
∴抛物线的焦点坐标为（2，0）．
∵抛物线y²=8x与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，
∴c=2，
∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
且该焦点到双曲线C的渐近线的距离为1，
∴$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，即$\frac{2b}{2}$=1，解得b=1，
∴a²=c²-b²=3，
∴双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，
故选：D．

点评 本题考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．