Question

7．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD．AB=AA₁=$\sqrt{2}$
（1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积．

Answer 1

分析 （1）要证明A₁C⊥平面BB₁D₁D，只要证明A₁C垂直于平面BB₁D₁D内的两条相交直线即可，由已知可证出A₁C⊥BD，取B₁D₁的中点为E₁，通过证明四边形A₁OCE₁为正方形可证A₁C⊥E₁O．由线面垂直的判定定理问题得证；
（2）由已知A₁O是三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高，由此能求出三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积．

解答 证明：（1）∵A₁O⊥面ABCD，且BD，AC?面ABCD，
∴A₁O⊥BD，A₁O⊥AC；
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A₁O∩AC=O，
∴BD⊥面A₁AC，且A₁C?面A₁AC，故A₁C⊥BD．
在正方形ABCD中，
∵AB=$\sqrt{2}$，
∴AO=1，
在Rt△A₁OA中，∵AA₁=$\sqrt{2}$，
∴A₁O=1．
设B₁D₁的中点为E₁，则四边形A₁OCE₁为正方形，
∴A₁C⊥E₁O．
又BD?面BB₁D₁D，且E₁0?面BB₁D₁D，且BD∩E₁O=O，
∴A₁C⊥面BB₁D₁D；
解：（2）∵四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，
O为底面中心，A₁O=1，A₁B=AB=AA₁=$\sqrt{2}$，
∴A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O是三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A₁OA中，A₁O=1，
∴三棱柱ABD-A₁B₁D₁的体积V=S_△ABD•A₁O=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$）²×1=1．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱柱的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．