Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-

2

3

．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0⇒f（0）=0；
（2）令y=-x即可证得f（-x）=-f（x），利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合已知即可证得f（x）是R上的减函数；
（3）利用f（x）在R上是减函数可知f（x）在[-3，3]上也是减函数，易求f（3）=-2，从而可求得f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）令x=y=0，则f（0）=0；
（2）令y=-x，则f（-x）=-f（x），
在R上任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，△y=f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
∵x₂＞x₁，
∴x₂-x₁＞0，
又∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
由定义可知函数f（x）在R上为单调递减函数．
（3）∵f（x）在R上是减函数，
∴f（x）在[-3，3]上也是减函数．
又f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=3×（-

2

3

）=-2，
由f（-x）=-f（x）可得f（-3）=-f（3）=2，
故f（x）在[-3，3]上最大值为2，最小值为-2．

点评：本题主要考查了函数的单调性的判定和奇偶性的判定，以及抽象函数的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．