Question

已知四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点
（1）求证：EFGH是平行四边形
（2）若BD=2

3

，求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得EH∥BD，FG∥BD，从而EH∥FG，EH=FG，由此能证明四边形EFGH是平行四边形．
（2）由条件可知AC与BD所成的角为∠EHG，连接EG，由勾股定理得AC与BD所成的角为90°．
②EG、BD所成的角为∠GEH，在Rt△EHG中，sin∠GEH=

HG

EG

=

1

2

，由此能求出EG、BD所成的角为30°．

解答： （本题14分）
（1）证明：在△ABD中，∵E、H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD，EH=

1

2

BD，
同理，FG∥BD，FG=

1

2

BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）解：①由条件可知AC与BD所成的角为∠EHG，
连接EG，∵EH=

1

2

BD=

3

，HG=

1

2

AC=1，EG=2
在△EGH中，EH²+GH²=4=EG²，
∴EH⊥HG，即AC与BD所成的角为90°．
②EG、BD所成的角为∠GEH，在Rt△EHG中，
Sin∠GEH=

HG

EG

=

1

2

，
∴∠GEH=30°，
∴EG、BD所成的角为30°．

点评：本题考查四边形是平行四边形的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．