Question

在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为

2

a，P为侧棱SD上的一点
（1）当正面体ACPS的体积为

6 a3

18

时，求

SP

PD

的值；
（2）在（1）的条件下，若E是SC的中点，求证：BE∥平面APC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）先求出△SAC的面积S_△SAC，再由四面体ACPS的体积求出对应的高h，由相似三角形求出

SP

PD

的比值；
（2）画出图形，取SP的中点F，利用平面BEF∥平面APC，证明BE∥平面APC．

解答： 解：（1）在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为

2

a，
∴AC=SA=SC=

2

a；
∴S_△SAC=

3

4

×(

2

a)2=

3

2

a²，
∵四面体ACPS的体积为

6 a3

18

，
∴

1

3

•S_△SAC•h=

6 a3

18

，
∴h=

2

3

a；
又AC∩BD=O，
∴OD=

2

2

a；
∴

SP

h

=

SD

OD

=

2 a

2 a 2

=2，
∴SP=2h=

2 2 a

3

；
∴PD=SD-SP=

2

a-

2 2 a

3

=

2 a

3

，
∴

SP

PD

=2；
（2）证明：在（1）的条件下，∵E是SC的中点，

连接OP，
取SP的中点F，连接EF、BF，如图所示；
∵P我DF的中点，O为BD的中点，∴OP∥BF；
同理，CP∥EF，
且BF∩EF=F，OP∩CP=P，
∴平面BEF∥平面APC，
又BE?平面BEF，∴BE∥平面APC．

点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了证明与逻辑推理能力以及空间想象能力，是综合性题目．