Question

已知：正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AA₁=AB=a，D为CC₁的中点，F是A₁B的中点，A₁D与AC的延长线交于点M．
（1）求证：DF∥平面ABC；
（2）求证：AF⊥BD；
（3）求平面A₁BD与平面ABC所成的较小二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DF∥平面ABC．
（2）由

AF

•

BD

=0，利用向量法能证明AF⊥BD．
（3）求出平面A₁BD的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出平面A₁BD与平面ABC所成的较小二面角的大小．

解答： （1）证明：以A为原点，AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A₁（0，0，a），B（

3 a

2

，

a

2

，0），
F（

3 a

4

，

a

4

，

a

2

），D（0，a，

a

2

），

DF

=（-

3 a

4

，

3a

4

，0），
平面ABC的法向量

n

=（0，0，1），
∵

DF

•

n

=0，且DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）证明：

AF

=（

3 a

4

，

a

4

，

a

2

），

BD

=（-

3 a

2

，

a

2

，

a

2

），
∴

AF

•

BD

=-

3

8

a2+

a2

8

+

a2

4

=0，
∴AF⊥BD．
（3）解：

A1B

=（

3

2

a，

1

2

a，-a），

A1D

=（0，a，-

a

2

），
设平面A₁BD的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • A1B = 3 a 2 x+ a 2 y-az=0 m • A1D =ay- a 2 z=0

，取z=2，得

m

=（

3

，1，2），
设平面A₁BD与平面ABC所成的较小二面角为θ，
cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

2

3+1+4

=

2

2

，
∴θ=

π

4

．
∴平面A₁BD与平面ABC所成的较小二面角为

π

4

．

点评：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．