Question

已知函数f（x）=x²+2x-3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0，集合N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0
（1）求集合M∩N对应区域的面积；
（2）若点P（a，b）∈M∩N，求

b

a-3

的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）化简M={（x，y）|（x+1）²+（y+1）²≤8}，N={（x，y）|（x-y）（x+y+2）≥0}；从而作出平面区域并求面积；
（2）

b

a-3

的几何意义是点P（a，b）与点（3，0）两点连线的直线的斜率，从而求出直线l₁与l₂的斜率，从而得到

b

a-3

的取值范围．

解答： 解：（1）化简f（x）+f（y）≤0得，
（x+1）²+（y+1）²≤8；
故M={（x，y）|（x+1）²+（y+1）²≤8}；
f（x）-f（y）≥0得，
（x-y）（x+y+2）≥0；
故N={（x，y）|（x-y）（x+y+2）≥0}；
故M∩N的区域如右图，
故其面积S=

1

2

•π•8=4π；
（2）

b

a-3

的几何意义是点P（a，b）与点（3，0）两点连线的直线的斜率，
kl1=

1-0

1-3

=-

1

2

，
设l₂：y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
则

|-k+1-3k|

1+k2

=2

2

；
解得，k=

2-3 2

4

（舍去）或k=

2+3 2

4

；
故kl2=

2+3 2

4

；
故

b

a-3

的取值范围为[-

1

2

，

2+3 2

4

]．

点评：本题考查了线性规划的应用，注意集合M与集合N的化简，从而作出平面区域；同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．