Question

已知函数f（x）=x²-4x+5．
（1）是否存在实数m₀，使不等式m₀+f（x）＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
（2）若存在一个实数x₀，使不等式m-f（x₀）＞0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）不等式m+f（x）＞0可化为m＞-f（x），求出右边的最大值，即可求得m的范围；
（2）m-f（x₀）＞0可化为m＞f（x₀），求出右边的最小值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）不等式m+f（x）＞0可化为m＞-f（x），即m＞-x²+4x-5=-（x-2）²-1．
要使m＞-（x-2）²-1对于任意x∈R恒成立，只需m＞-1即可．
故存在实数m，使不等式m+f（x）＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞-1．
（2）∵m-f（x₀）＞0，∴m＞f（x₀）．
∵f（x₀）=x₀²-4x₀+5=（x₀-2）²+1≥1．
∴m＞1．

点评：本题考查恒成立问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．