Question

设函数f（x）=cos（2x+

π

6

）+sin2x．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（

1

2

α-

π

6

）=

1

3

，且α∈（

π

2

，π），求f（α）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+

π

3

），由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由f（

1

2

α-

π

6

）=sinα=

1

3

，又α∈（

π

2

，π），可得cosα，sin2α，cos2α的值，由f（α）=sin（2α+

π

3

），根据两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值即可求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos（2x+

π

6

）+sin2x=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin（2x+

π

3

），
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间是：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z
（2）∵f（

1

2

α-

π

6

）=sin[2（

1

2

α-

π

6

）+

π

3

]=sinα=

1

3

，
又∵α∈（

π

2

，π），
∴可得：cosα=-

1-sin2α

=-

2 2

3

，sin2α=2sinαcosα=-

4 2

9

，cos2α=2cos²α-1=

7

9

∴f（α）=sin（2α+

π

3

）=

1

2

sin2α+

3

2

cos2α=

1

2

×(-

4 2

9

)+

3

2

×

7

9

=

7 3 -4 2

18

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．