Question

已知曲线P：

x2

m-1

+

y2

6-m

=1（m≠1且m≠6）．
（Ⅰ）指出曲线P表示的图形的形状；
（Ⅱ）当m=5时，过点M（1，0）的直线l与曲线P交于A，B两点．
①若

MA

=-2

MB

，求直线l的方程；
②求△OAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,导数在最大值、最小值问题中的应用,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）通过对M的讨论，直接判断曲线图形的形状．
（Ⅱ）当m=5时，求出的方程，①设出过点M（1，0）的直线l的方程，与曲线P联立方程组，是A，B两点坐标，利用韦达定理．结合

MA

=-2

MB

，即可求直线l的方程；
②求出弦长，利用点到直线的距离求出三角形的高，然后表示出△OAB面积，利用换元法以及函数的导数求出三角形的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ） 当1＜m＜

7

2

时，曲线P表示焦点在y轴上的椭圆，
当m=

7

2

时，曲线P表示圆，
当

7

2

＜m＜6时，曲线P表示焦点在x轴上的椭圆．…（4分）
（Ⅱ）当m=5时，曲线P为

x2

4

+y²=1，表示椭圆，
①依题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：x=λy+1，A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），
由

x2

4

+y²=1消去x得（λ²+4）y²+2λy-3=0，
△＞0，由韦达定理得

y1+y2= -2λ λ2+4 …① y1•y2= -3 λ2+4 …②

，
由

MA

=-2

MB

得，y₁=-2y₂代入①②得

-y2= -2λ λ2+4 -2y22= -3 λ2+4

，…（7分）
故

8λ2

(λ2+4)2

=

3

λ2+4

⇒λ²=

12

5

⇒λ=±

2 15

5

．
即直线l的方程为x±

2 15

5

y-1=0．…（9分）
②S_△OAB=S_△OMA+S_△OMB=

1

2

|OM|•|y₁-y₂|=

1

2

|y₁-y₂|
=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

16λ2+48

2(λ2+4)

=

2 λ2+3

λ2+4

=

2 λ2+3

λ2+3+1

，
令

λ2+3

=t（t≥

3

），S（t）=

2t

t2+1

，
当t∈[

3

，+∞）时，S′（t）=

2(t2+1)-4t2

(t2+1)2

=

2-2t2

(t2+1)2

＜0，
故y=S（t）在t∈[

3

，+∞）时单调递减，
当t=

3

，即λ=0时，S_△ABO有最大值为

3

2

．…（14分）

点评：本题考查曲线方程的综合应用，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．