Question

已知圆C：（x-4）²+（y-3）²=1和两点 A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上至少存在一点 P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：根据题意，得出圆C的圆心C与半径r，设点P（a，b）在圆C上，表示出

AP

、

BP

；
利用∠APB=90°，求出m²，根据|OP|表示的几何意义，得出m的取值范围．

解答： 解：∵圆C：（x-4）²+（y-3）²=1，
∴圆心C（4，3），半径r=1；
设点P（a，b）在圆C上，则

AP

=（a+m，b），

BP

=（a-m，b）；
∵∠APB=90°，
∴

AP

⊥

BP

，
∴（a+m）（a-m）+b²=0；
即m²=a²+b²；
∴|OP|=

a2+b2

，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|-r=5-1=4；
∴m的取值范围是[4，6]．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，是综合性题目．