Question

已知直线m和直线n所成的角的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与直线m和直线n所成的角都是25°的直线的条数为（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：利用线面角的概念及角平分线的性质，分析出所求直线二面角的平分面上，再根据线面角的大小变化确定出直线条数．

解答： 解：首先给出下面两个结论
①两条平行线与同一个平面所成的角相等．
②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．
（1）如图，过二面角α-l-β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面交于OA，OB，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角，
∠AOB=50°
设OP₁为∠AOB的平分线，则∠P₁OA=∠P₁OB=25°，
与平面α，β所成的角都是25°，
此时过P且与OP₁平行的直线符合要求，有一条．
当OP₁以O为轴心，在二面角α-l-β的平分面上转动时，OP₁与两平面夹角变小，
不再会出现25°情形．
（2）如图，设OP₂为∠AOB的补角∠AOB′，
则∠P₂OA=∠P₂OB=65°，
与平面α，β所成的角都是65°．
当OP₂以O为轴心，
在二面角α-l-β′的平分面上转动时，
OP₂与两平面夹角变小，
对称地在图中OP₂两侧会出现25°情形，有两条．
此时过P且与OP₂平行的直线符合要求，有两条．
综上所述，直线的条数共有三条．
故选：B．

点评：本题考查满足条件的直线条数的求法，是中档题题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．