Question

如图，在菱形ABCD中，AB=BD=2，三角形PAD为等边三角形，将它沿AD折成大小为α（

π

2

＜α＜π）的二面角P-AD-B，连接PC，PB．
（Ⅰ）证明：AD⊥PB；
（Ⅱ）当α=120°时，求PC与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）首先通过做中点，利用三角形PAD为等边三角形，及菱形ABCD中，AB=BD=2，得到PE⊥AD，BE⊥AD，得到AD⊥平面PBE，进一步求得结论．
（Ⅱ）利用二面角的平面角，进一步作出PF⊥平面ABCD，进一步利用余弦定理解得：BE=

3

，PF=

3

2

，EF=

3

2

同理在△CDE中，ED=1，CD=2，∠EDC=120°，利用余弦定理解得：EC=

7

，利用余弦定理，
解得：cos∠BEC=

3+7-4

2 3 7

=

21

7

，所以在△CEF中，利用余弦定理：
CF²=EF²+EC²-2EF•ECcos∠FEC，解得：CF=

43

2

，最后求出结论．

解答： 证明：（Ⅰ）在菱形ABCD中，AB=BD=2，三角形PAD为等边三角形，
取AD的中点E，连接PE，BE，
所以：PE⊥AD，BE⊥AD，
则：AD⊥平面PBE，
所以：AD⊥PB．
（Ⅱ）将它沿AD折成大小为120°的二面角P-AD-B，
所以∠PEF=60°，过P做PF⊥平面ABCD，交BE的延长线于F，
连接CF，所以：∠PCF即是PC与平面ABCD所成的角．
在△ABE中，AB=2，AE=1，∠ABE=60°
利用余弦定理解得：BE=

3

在△PEF中，
解得：PF=

3

2

，EF=

3

2

同理在△CDE中，ED=1，CD=2，∠EDC=120°
利用余弦定理解得：EC=

7

则：在△BEC中，利用余弦定理，
解得：cos∠BEC=

3+7-4

2 3 7

=

21

7

所以在△CEF中，利用余弦定理：
CF²=EF²+EC²-2EF•ECcos∠FEC
解得：CF=

43

2

在直角三角形PCF中，tan∠PCF=

PF

CF

=

3 43

43

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，线面垂直与线线垂直之间的转化，线面的夹角的应用，余弦定理的应用，及相关的运算问题，属于中等题型．