Question

已知椭圆

x2

2

+y²=1，过椭圆左焦点F₁作倾斜角为60°的直圆交于CD两点，A₂为椭圆的右顶点，求△CDA₂的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出CD的方程，代入 x²+2y²=2 求得交点C，D的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出|CD|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

．利用点到直线的距离公式可得点A₂到直线CD的距离d，即可得出S=

1

2

•|CD|•d，

解答： 解：椭圆

x2

2

+y²=1，过椭圆左焦点F₁（-1，0），作倾斜角为60°的直圆交于CD两点，
CD的方程为：y=

3

x+

3

，
把 y=

3

x+

3

 代入 x²+2y²=2 得7x²+12x+4=0，
解得x₁+x₂=-

12

7

，x₁x₂=

4

7

，
∴|CD|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+3

|x₁-x₂|=2

(- 12 7 )2-4× 4 7

=

8 2

7

．
点A₂（

2

，0）到直线CD的距离d=

| 6 + 3 |

1+3

=

6 + 3

2

，
△CDA₂的面积S=

1

2

•|CD|•d=

1

2

×

8 2

7

×

6 + 3

2

=

2( 6 +2 3 )

7

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题、椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了计算能力，属于中档题．