Question

设{a_n}是等差数列，S_n是{a_n}的前n项和，已知a₇=-2，S₅=30．
（1）求a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=（12-a_n）

210-an

，T_n是{b_n}的前n项和，求证：

Tn

bn

＜2（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

a1+6d=-2 5a1+10d=30

，由此能求出a_n=-2n+12．
（2）由b_n=（12-a_n）

210-an

=2n•2^n-1=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，由此能证明

Tn

bn

=

(n-1)•2n+1+2

n•2n

=2-

2n+1-2

n•2n+1

＜2．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等差数列，S_n是{a_n}的前n项和，已知a₇=-2，S₅=30，
∴

a1+6d=-2 5a1+10d=30

，
a₁=10，d=-2，
∴a_n=10+（n-1）×（-2）=-2n+12．
（2）b_n=（12-a_n）

210-an

=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-2，得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴

Tn

bn

=

(n-1)•2n+1+2

n•2n

=2-

2n+1-2

n•2n+1

＜2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．