Question

由动点P（x，y）向圆O：x²+y²=1引两条切线，切点为A、B，若

PA

•

PB

=

3

2

，则动点P的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：设点P的坐标为（x，y），得到|

PO

|2=x2+y2，结合

PA

•

PB

=

3

2

，利用数量积公式展开后再由二倍角的余弦把cos∠APB用P的坐标表示，代入后得答案．

解答： 解：设点P的坐标为（x，y），则|

PO

|2=x2+y2，
由

PA

•

PB

=

3

2

，得|

PA

|2cos∠APB=

3

2

，则(|

PO

|2-1)cos∠APB=

3

2

，
设∠APB=α，则cos∠APB=1-2sin2

α

2

=1-2•

1

x2+y2

，
∴(x2+y2-1)(1-

2

x2+y2

)=

3

2

，整理得：x2+y2=

9- 65

4

或x2+y2=

9+ 65

4

．
故答案为：x2+y2=

9- 65

4

或x2+y2=

9+ 65

4

．

点评：本题主要考查了求轨迹方程的问题，考查了平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，属中档题．