Question

若实数a，b，c满足a²+b²+c²=1，则a²b²c²的最大值为

 

；a+b+c的最小值为

 

，3ab-3bc+2c²最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：转化思想,不等式

分析：①根据算术平均数不小于它们的几何平均数，利用a²+b²+c²≥3

3	a2b2c2

，求出a²b²c²的最大值；
②根据a²+b²+c²≥

1

3

（a+b+c）²，求出a+b+c的最小值；
③讨论c=0以及c≠0时，利用判别式△≥0，求出3ab-3bc+2c²的最大值为．

解答： 解：①∵a≥0，b≥0，c≥0时，
a+b+c≥3

3	abc

，
∴a²+b²+c²≥3

3	a2b2c2

，
∴a²b²c²≤(

a2+b2+c2

3

)3=(

1

3

)3=

1

27

，当且仅当a=b=c=

3

3

时，“=”成立，
∴a²b²c²的最大值为

1

27

；
②∵a²+b²+c²≥

1

3

（a+b+c）²
∴（a+b+c）²≤3（a²+b²+c²）=3
∴-

3

≤a+b+c≤

3

∴a+b+c的最小值为-

3

；
③不妨考虑c，当c=0时，有3ab-3bc+2c²=3ab≤

3(a2+b2)2

4

=

3

4

，
当c≠0时，3ab-3bc+2c²=

3ab-3bc+2c2

a2+b2+c2

=

3• a c • b c -3• b c +2

( a c )2+( b c )2

，
设x=

a

c

，y=

b

c

，则可令M=3ab-3bc+2c²=

3xy-3y+2

x2+y2+1

，
即有Mx²-3xy+My²+M+3y-2=0，
由于x为实数，则有判别式△₁=9y²-4M（My²+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M²）y²-12My-4M（M-2）≥0，
由于y为实数，则△₂=144M²+16M（9-4M²）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M²+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，则M＞0，则M≤3；
∴3ab-3bc+2c²最大值为3．
故答案为：

1

27

，-

3

，3．

点评：本题考查了不等式选修的应用问题，考查了灵活应用基本不等式的问题，是综合性题目．