Question

如图，△ABC外一点S，且SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AM⊥SB，AN⊥SC
（1）求证：SC⊥平面AMN；
（2）如果SA=AC=2，∠BSC=θ，当tanθ取何值时，△AMN的面积最大，并求最大值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,三角形的面积公式,截面及其作法

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）联想判定定理，要证明SC⊥平面AMN，需证明SC垂直于平面AMN中的两条相交直线．已知ANSC，尚缺条件SC⊥AM于是考虑从其它条件所具备的性质中去寻找．
（2）判断AM与MN垂直，然后求出AM，用θ表示三角形的面积，根据解析式的特点求最大值．

解答： （1）证明：∵SA⊥平面ABC，而AB为SB在平面ABC内的射影，
又由∠ABC=90°，知BC⊥AB，由三垂线定理，BC⊥SB，
∴BC⊥平面SAB，
∵AM?平面SAB，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面SBC，∴SC⊥AM，
∵AN⊥SC，
∴SC⊥平面AMN．
（2）解：在Rt△SAC中，SA=AC=2，∴SC=2

2

，∵AN⊥SC，∴AM=

1

2

SC=

2

，∴SN=BN=

2

．
又∵SC⊥面AMN，MN?平面AMN．∴SC⊥MN．∵MN=SN•tanθ=

2

tanθ，
∵AM⊥平面SBC，MN?平面SBC．∴AM⊥MN．
∵AM=

AN2-MN2

=

( 2 )2-( 2 tanθ)2

=

2-2tan2θ

，
∴S_△AMN=

1

2

AM×MN=

1

2

2

1-tan2θ

2

tanθ=

tan2θ(1-tan2θ)

≤

tan2θ+1-tan2θ

2

=

1

2

，当且仅当tan²θ=1-tan²θ 等号成立．
∴当tan²θ=

1

2

，即tanθ=

2

2

时，S_△AMN有最大值为

1

2

．

点评：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题化为利用定义证明线线垂直；而证明此线线垂直时，又转化为利用判定定理证明线面垂直，利用定义转化为证明线线垂直．