Question

已知向量

m

=（sinx，

3

sinx），

n

=（sinx，-cosx），设函数f（x）=

m

•

n

，
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=0，b+c=7，△ABC的面积为2

3

，求边a的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,余弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）首先通过三角函数的恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间．
（Ⅱ）利用上步求得的函数关系式，利用定义域和三角形的面积求出角A的大小，进一步利用余弦定理求出边a的值．

解答： 解：（Ⅰ）已知向量

m

=（sinx，

3

sinx），

n

=（sinx，-cosx），
设函数f（x）=

m

•

n

=sin2x-

3

sinxcosx
=

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x
=

1

2

-sin(2x+

π

6

)
所以函数的最小正周期为：T=

2π

2

=π，
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：kπ-

π

3

≤x≤

π

6

+kπ
所以函数的单调递减区间为：[kπ-

π

3

，

π

6

+kπ]（k∈Z）
（Ⅱ）由f（x）=

1

2

-sin(2x+

π

6

)
又因为：f（A）=0，0＜A＜π
所以：

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

所以：2A+

π

6

=

5π

6

解得：A=

π

3

又△ABC的面积为2

3

所以：

1

2

bcsinA=2

3

解得：bc=8
b+c=7
利用余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA
解得：a=5

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变形，正弦型函数的周期和单调区间的确定，利用三角形的角的范围求出角的大小，余弦定理的应用，属于基础题型．