Question

已知各项为正数的等比数列数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的通项公式b_n=

n，n为偶数 n+1，n为奇数

（n∈N^*），若S₃=b₅+1，b₄是a₂和a₄的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得b₅=6，b₄=4，a1+a1q+a1q2=7，a2•a4=a32=16，从而q=2，a₁=1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当n为偶数时，利用分组求和法和错位相减法能求出Tn=(n-1)•2n+1+

1-4 n 2

1-4

=（n-

2

3

）•2ⁿ+

2

3

．当n为奇数，且n≥3时，T_n=T_n-1+（n+1）•2^n-1=(n-

5

3

)•2n-1+

2

3

+(n+1)•2n-1=(2n-

2

3

)•2n-1+

2

3

，由此能求出T_n．

解答： 解：（1）∵数列{b_n}的通项公式b_n=

n，n为偶数 n+1，n为奇数

（n∈N^*），
∴b₅=6，b₄=4，
设各项为正数的等比数列数列{a_n}的公比为q，q＞0，
∵S₃=b₅+1=7，∴a1+a1q+a1q2=7，①
∵b₄是a₂和a₄的等比中项，
∴a2•a4=a32=16，解得a3=a1q2=4，②
由①②得3q²-4q-4=0，
解得q=2，或q=-

2

3

（舍），
∴a₁=1，an=2n-1．
（2）当n为偶数时，
T_n=（1+1）•2⁰+2•2+（3+1）•2²+4•2³+（5+1）•2⁴+…+[（n-1）+1]•2^n-2+n•2^n-1
=（2⁰+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1）+（2⁰+2²+…+2^n-2），
设H_n=2⁰+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，①
2H_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-H_n=2⁰+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ
=（1-n）•2ⁿ-1，
∴H_n=（n-1）•2ⁿ+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+

1-4 n 2

1-4

=（n-

2

3

）•2ⁿ+

2

3

．
当n为奇数，且n≥3时，
T_n=T_n-1+（n+1）•2^n-1=(n-

5

3

)•2n-1+

2

3

+(n+1)•2n-1=(2n-

2

3

)•2n-1+

2

3

，
经检验，T₁=2符合上式，
∴T_n=

(2n- 2 3 )•2n-1+ 2 3 ，n为奇数 (n- 2 3 )•2n+ 2 3 ，n为偶数

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想、分组求和法和错位相减法的合理运用．