Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=-x+1；当x＞1时，f（x）=log₂x
（1）在答题卡中的平面直角坐标系中直接画出函数y=f（x）在R上的草图；
（2）当x∈（-∞，-1）时，求满足方程f（x）+log₄（-x）=6的x的值；
（3）求y=f（x）在[0，t]（t＞0）上的值域．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数图象的作法

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（I）由函数是偶函数及已知区间上的解析式作出函数y=f（x）在R上图象；
（II）当x∈（-∞，-1）时，化简f（x）=log₂（-x），从而方程f（x）+log₄（-x）=6可化为log₂（-x）=4，从而解得；
（III）结合函数y=f（x）的图象，直接写出函数在[0，t]（t＞0）上的值域即可．

解答： 解：（I）函数y=f（x）在R上图象如下，

（II）当x∈（-∞，-1）时，f（x）=log₂（-x），
∴f(x)+log4(-x)=log2(-x)+

log2(-x)

log24

=

3

2

log2(-x)=6；
得log₂（-x）=4，即-x=2⁴，得x=-16；
（III）结合函数y=f（x）的图象可知，
当0＜t≤1时，值域为[-t+1，1]；
当1＜t≤2时，值域为[0，1]；
当t＞2时，值域为[0，log₂t]．

点评：本题考查了学生由函数的性质作出函数的图象的能力及对基本初等函数的掌握，同时考查了函数图象的应用，属于中档题．