Question

已知x+y+z=m，证明：x²+y²+z²≥

m2

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：运用重要不等式a²+b²≥2ab，和累加法，再由三个数的完全平方公式，即可得证．

解答： 证明：由于x²+y²≥2xy，
y²+z²≥2yz，
z²+x²≥2ax，
相加可得，2x²+2y²+2z²≥2xy+2yz+2zx，
再同时加x²+y²+z²，即有
3（x²+y²+z²）≥x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx，
即为3（x²+y²+z²）≥（x+y+z）²，
即x²+y²+z²≥

m2

3

（当且仅当x=y=z取得等号）．

点评：本题考查不等式的证明，主要考查重要不等式的运用，由累加法和完全平方公式是解题的关键．