Question

设曲线C：f（x）=lnx-ax（a∈R），f′（x）表示f（x）导函数．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的极值；
（Ⅱ）函数f（x）是否存在两个零点m，n（m＜n），若存在，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）对于曲线C上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，求证：存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于f′（x₀）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理

专题：分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求f（x）的导数，再对参数a进行讨论，利用导数函数值的正负情况研究原函数的极值；
（Ⅱ）假设函数f（x）存在两个零点m，n（m＜n），即lnx-ax=0有两个实根，对a讨论，由函数的单调性和极值的符号，即可判断；
（Ⅲ）要证存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于f′（x₀），只需证明存在点Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

．由f′（x）=

1

x

-a，即证存在x₀∈（x₁，x₂），使得

1

x0

-a=

lnx2-ax2-lnx1+ax1

x2-x1

，即x₀lnx₂-x₀lnx₁+x₁-x₂=0成立，即方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）内有解．设F（x）=xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂，0＜x＜x₂．由零点存在定理和函数的单调性，即可得证．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

-a，（x＞0），
当a≤0，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）内是增函数，
则函数f（x）没有极值．
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=

1

a

．
当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：

x	（0， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	单调递增	极大值	单调递减

当x=

1

a

时，f（x）取得极大值f（

1

a

）=-1-lna．
综上，当a≤0时，f（x）没有极值；
当a＞0时，f（x）的极大值为-1-lna，没有极小值．
（Ⅱ）假设函数f（x）存在两个零点m，n（m＜n），
即lnx-ax=0有两个实根，
由（Ⅰ）可得，当a≤0，函数f（x）在（0，+∞）内是增函数，
f（x）只有一个零点；
当a＞0时，f（x）在（0，

1

a

）递增，在（（

1

a

，+∞）递减．
f（x）的极大值为-1-lna，没有极小值．
当-1-lna＞0，即0＜a＜

1

e

时，f（x）有两个零点，
当a=

1

e

时，f（x）只有一个零点，当a＞

1

e

时，f（x）没有一个零点．
综上可得，f（x）存在两个零点，此时a的范围是（0，

1

e

）；
（Ⅲ）证明：曲线C上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，
要证存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于f′（x₀），
只需证明存在点Q（x₀，f（x₀）），x₁＜x₀＜x₂，使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

．
由f′（x）=

1

x

-a，即证存在x₀∈（x₁，x₂），
使得

1

x0

-a=

lnx2-ax2-lnx1+ax1

x2-x1

，
即x₀lnx₂-x₀lnx₁+x₁-x₂=0成立，
以下证明方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）内有解．
设F（x）=xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂，0＜x＜x₂．
则F（x₁）=x₁lnx₂-x₁lnx₁+x₁-x₂．
记g（x）=xlnx₂-xlnx+x-x₂，0＜x＜x₂，
∴g'（x）=lnx₂-lnx＞0，
∴g（x）在（0，x₂）内是增函数，
∴F（x₁）=g（x₁）＜g（x₂）=0．
同理F（x₂）＞0．∴F（x₁）F（x₂）＜0．
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）内有解x=x₀．
又F（x）=（lnx₂-lnx₁）x+x₁-x₂在（x₁，x₂）内是增函数，
∴方程xlnx₂-xlnx₁+x₁-x₂=0在（x₁，x₂）内有唯一解．
综上，存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于f′（x₀）．

点评：本题考查导数的综合运用：求单调区间和极值，同时考查函数的零点存在定理和函数方程的思想，运用构造函数和单调性是解题的关键．