Question

如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD上任一点，且

BE

=λ

BA

+μ

BC

，则

1

λ

+

2

μ

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：平面向量及应用

分析：利用向量加法三角形法则将

BE

表示出来，找出λ，μ的关系，进而求出

1

λ

+

2

μ

的最小值

解答： 解：∵

BE

=λ

BA

+μ

BC

，
又

BE

=

BA

+

AE

=

BA

+x

AD

=

BA

+

1

2

x(

AB

+

AC

)=（1-

x

2

）

BA

+

1

2

x

AC

=（1-x）

BA

+

1

2

x

BC

，
所以λ=1-x，μ=

1

2

x，
所以λ+2μ=1，
所以

1

λ

+

2

μ

=

λ+2μ

λ

+

2(λ+2μ)

μ

=5+

2μ

λ

+

2λ

μ

≥5+4=9，
当且仅当

2μ

λ

=

2λ

μ

等号成立，
所以

1

λ

+

2

μ

的最小值为9；
故答案为：9．

点评：本题主要考察了向量加法与减法三角形法则，及利用基本不等式的求最值问题，属于中档题．