Question

如图 所示的几何体ABCDE中，底面BCDE是∠C，∠D为直角的直角梯形，侧面ABE是∠A为直角的直角三角形，且AB=CD=6，BC=6

2

，AE=DE=3

2

；若二面角A-BE-C为直二面角，且F为AC的中点，求证：
（1）FD∥平面ABE；
（2）AC⊥BE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题意可取AB中点为M，连接MF，ME，将证明FD∥平面ABE转化为证明DF∥ME即可；
（2）△ABE可看成是将矩形ABCD沿BE折叠得到，过A作垂线交BE于点G，则CG⊥BD，故BE⊥平面CG，即得AC⊥BE．

解答： 证明：（1）由题意，如右图，可取AB中点为M，连接MF，ME，
∵底面BCDE是∠C，∠D为直角的直角梯形，
∴ED∥BC，
又∵DE=3

2

，BC=6

2

，
∴ED=

1

2

BC，
∵M为AB的中点，
∴MF是△ABC的中位线，
即MF∥BC，MF=

1

2

BC，
所以MF平行且等于ED，
即四边形MFDE为平行四边形，从而ME平行DF，
又ME?平面ABE，FD?平面ABE
∴DF∥平面ABE．
（2））如右图△ABE沿BE展开至A、B、C、D四点在同一个平面上，
∵AB=CD=6，BC=6

2

，AE=DE=3

2

，
∠C，∠D为直角，∠A为直角，
∴平面四边形ABCD为矩形，
连结矩形ABCD的对角线AC交BE于G，则

BE

•

AC

=(

BA

+

AE

)•(

AB

+

BC

)
=-

AB

2+

AE

•

BC

=-6×6+3

2

×6

2

=0．
即

BE

⊥

AC

，故在矩形ABCD中有BE⊥AC，
由于翻折不改变此垂直关系，
所以在右图中，AG⊥BE，GC⊥BE，
故BE⊥平面AGC，
所以BE⊥AC．

点评：本题考查线线垂直、线面平行的证明，是立体几何中常考的题型，作出恰当的辅助线是解题的关键，属难题．