Question

已知函数f（x）=（x+a）²-7bln x+1，其中a，b是常数且a≠0．
（1）若b=1时，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）当b=

4

7

a²时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出函数的导数，问题转化为a≥

7

2x

-x在x＞1时恒成立，通过讨论x的范围，从而求出a的范围；
（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间．

解答： 解：（1）∵b=1，∴f（x）=（x+a）²-7lnx+1，
∴f′（x）=2x+2a-

7

x

．
∵当x＞1时，f（x）是增函数，
∴f′（x）=2x+2a-

7

x

≥0在x＞1时恒成立．
即a≥

7

2x

-x在x＞1时恒成立．
∵当x＞1时，y=

7

2x

-x是减函数，
∴当x＞1时，y=

7

2x

-x＜

5

2

，∴a≥

5

2

．
（2）∵b=

4

7

a²，
∴f（x）=（x+a）²-4a²ln x+1，x∈（0，+∞）．
∴f′（x）=

2x2+2ax-4a2

x

=

2(x-a)(x+2a)

x

．
当a＞0时，f′（x）＞0，得x＞a或x＜-2a，
故f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）；
当a＜0时，f′（x）＞0，得x＞-2a或x＜a，
故f（x）的减区间为（0，-2a），增区间为（-2a，+∞）．

点评：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．