Question

若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f（x）=

1

x

；②f（x）=2^x；　③f（x）=lg（x²+2）；④f（x）=cosπx，其中是1的饱和函数的所有函数的序号为 （　　）

• A、②④
• B、①②④
• C、③④
• D、②③

Answer 1

考点：函数的值,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用“1的饱和函数”的定义构造方程，判断方程是否有解，可得结论．

解答： 解：①f（x）=

1

x

，D=（-∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=

1

x

是“1的饱和函数”，
则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

，
即x₀²+x₀+1=0，
因为此方程无实数解，
所以函数f（x）=

1

x

不是“1的饱和函数”．
②f（x）=2^x，D=R，则存在实数x₀，使得2^x₀+1=2^x₀+2，解得x₀=1，
因为此方程有实数解，
所以函数f（x）=2^x是“1的饱和函数”．
③f（x）=lg（x²+2），若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则lg[（x+1）²+2]=lg（x²+2）+lg3
即2x²-2x+3=0，
∵△=4-24=-20＜0，故方程无解．
即f（x）=lg（x²+2）不是“1的饱和函数”．
④f（x）=cosπx，存在x=

1

2

，使得f（x+1）=f（x）+f（1），
即f（x）=cosx是“1的饱和函数”．
故选：A

点评：本题考查“1的饱和函数”的判断，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用．