Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=100n-n²（n∈N₊）．
（1）{a_n}是什么数列？
（2）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得{a_n}的通项公式为a_n=-2n+101，可得{a_n}是等差数列；
（2）可得数列{a_n}的前50项为正数，从第51项开始为负数，故当n≤50时，{b_n}的前n项和T_n=S_n；当n＞50时，{b_n}的前n项和T_n=-S_n+2S₅₀，代入已知式子化简可得．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=100n-n²，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=100n-n²-100（n-1）+（n-1）²=-2n+101，
当n=1时，a₁=S₁=100-1=99，适合上式，
∴{a_n}的通项公式为a_n=-2n+101，
∴{a_n}是等差数列；
（2）∵b_n=|a_n|=|-2n+101|，
解-2n+101≤0可得n≥

101

2

，
∴数列{a_n}的前50项为正数，从第51项开始为负数，
∴当n≤50时，{b_n}的前n项和T_n=S_n=100n-n²；
当n＞50时，{b_n}的前n项和T_n=S₅₀-a₅₁-a₅₂-…-a_n
=-S_n+2S₅₀=-100n+n²+2（100×50-50²）=5000-100n+n²

点评：本题考查等差数列的求和公式和分类讨论的思想，属中档题．