Question

在等差数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|，求S_n；
（3）设b_n=

1

n(12-an)

（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）令a_n≥0，解得n≤5，可得|a_n|=

10-2n，n≤5 2n-10，n≥6

．对n分类讨论，利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（3）b_n=

1

n(12-10+2n)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=8，a₄=2．
∴8+3d=2，解得d=-2．
∴a_n=8-2（n-1）=10-2n．
∴a_n=10-2n．
（2）令a_n≥0，解得n≤5，
∴|a_n|=

10-2n，n≤5 2n-10，n≥6

．
∴当n≤5时，S_n=8+6+…+（10-2n）=

n(8+10-2n)

2

=9n-n²；
当n≥6时，S_n=20+2+4+…+（2n-10）
=20+

(n-5)(2+2n-10)

2

=n²-9n+40．
∴S_n=

9n-n2，1≤n≤5 n2-9n+40，n≥6

．
（3）b_n=

1

n(12-an)

=

1

n(12-10+2n)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

(1-

1

n+1

)
=

n

2+2n

．

点评：本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列的求和问题，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．