Question

用反证法证明：对于直线l：y=x+k，不存在这样的实数k，是的l与双曲线C：3x²-y²=1的交点A，B关于直线y=-x对称．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：证明题,反证法,推理和证明

分析：利用两点关于直线对称满足两点的中点在直线上；两点连线与对称轴垂直列出方程组，将韦达定理代入得到k关系，得出矛盾，即可得出结论．

解答： 证明：假设存在实数k，使得A、B关于直线y=-x对称，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=（x₁+x₂）+2k，y₁+y₂=-（x₁+x₂）
所以x₁+x₂=-k
由直线l：y=x+k代入3x²-y²=1，得2x²-2kx-k²-1=0，
所以x₁+x₂=k，与x₁+x₂=-k矛盾，
故不存在实数k，使得A、B关于直线y=-x对称．

点评：本题考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常将它们的方程联立，处理两点关于直线对称的问题常借用两点的中点在对称轴上；两点连线与对称轴垂直．