Question

已知数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=1，a_n+2=

1

an+1

，a₁₀₀=a₉₆，则a₂₀₁₄+a₃=（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  1+ 5

  2

• C、

  5

  2

• D、

  -1+ 5

  2

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由数列递推式求出a₃，结合a₁₀₀=a₉₆求得a₉₆，然后由a_n+2=

1

an+1

可得a₂₀₁₄=a₉₆，则答案可求．

解答： 解：∵a₁=1，a_n+2=

1

an+1

，
∴a3=

1

a1+1

=

1

2

，
由a₁₀₀=a₉₆，得
a100=

1

a98+1

=

1

1 a96+1 +1

=a96，
即a962+a96-1=0，解得a96=-

1

2

+

5

2

（a_n＞0）．
∴a2014=a2012=…=a96=-

1

2

+

5

2

．
则a₂₀₁₄+a₃=

1

2

-

1

2

+

5

2

=

5

2

．
故选：C．

点评：本题考查了数列递推式，解答此题的关键是对数列规律性的发现，是中档题．