Question

定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意的实数x，存在不为0的常数r使得f（x+r）=-rf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于r函数”，下列“关于r函数”的结论正确的是（　　）

• A、f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于r函数”
• B、f（x）=x²是一个“关于r函数”
• C、f（x）=sinπx不是一个“关于r函数”
• D、“关于

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  2

  函数”至少有一个零点

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：利用新定义“λ的相关函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案

解答： 解：对于A，设f（x）=C是一个“关于r函数”，C=-rC，即（1+r）C=0，当r=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个“关于r函数”，故A不正确；
对于B，用反证法，假设f（x）=x²是一个“关于r函数”，则（x+r）²+rx²=0，即（1+r）x²+2rx+r²=0对任意实数x成立，所以r+1=2r=r²=0，而此式无解，所以f（x）=x²不是一个“关于r函数”，故B不正确；
对于C，因为f（x）=sinπx，故当r=1时，f（x+1）+1•f（x）=sinπ（x+1）+sinπx=-sinπx+sinπx=0恒成立，即存在不为0的常数r=1使得f（x+1）=-f（x）恒成立，
∴f（x）=sinπx是一个“关于r函数”，故C不正确；
对于D，令x=0，得f（

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）+

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f（0）=0，所以f（

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）=-

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f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（

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）•f（0）=-

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[f（0）]²＜0．
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，

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）上必有实数根．因此任意的“关于

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函数”必有根，即任意“关于

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函数”至少有一个零点，故D正确．
故选：D．

点评：本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解“关于r函数”的概念是关键，属于中档题．