Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

3

，且PA⊥平面ABCD，PA=2，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：直线PC∥平面MBD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接MO，由MO∥PC，由此能证明直线PC∥平面MBD．
（Ⅱ）由CD∥AB，得∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角），由此能求出AB与MD所成角的余弦值．

解答： （本小题满分10分）
解：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接MO
∵底面ABCD是边长为1的菱形，∴O是AC中点，
又M为PA的中点，∴MO∥PC，
又MO?平面MBD，PC?平面MBD，
∴直线PC∥平面MBD．
（Ⅱ）∵CD∥AB，
∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
连接AC，MC，则AC=1，MC=

2

MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴AB与MD所成角的余弦值为

2

4

．

点评：本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．