Question

已知函数f（x）=2x²-3x+1．
（1）当0≤x≤

π

2

时，求y=f（sinx）的最大值；
（2）问a取何值时，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有两解？

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：分类讨论,函数思想,方程思想,换元法,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数f（x）得出y=f（sinx）的解析式，用换元法，设t=sinx，x∈[0，

π

2

]，求出f（t）在区间[0，1]上的最值即可；
（2）把方程f（sinx）=a-sinx转化为2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解的问题，用换元法，求方程2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情况即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2x²-3x+1，
∴y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，
设t=sinx，x∈[0，

π

2

]，则0≤t≤1，
∴y=2（t²-

3

2

t）+1=2(t-

3

4

)2-

1

8

，
∴当t=0时，函数y取得最大值y_max=1；
（2）∵方程f（sinx）=a-sinx，
∴2sin²x-3sinx+1=a-sinx，
即2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有两解，
设t=sinx，则
2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情况如下；
①当方程在（-1，1）上只有一个解或相等解时，
x有两解（5-a）（1-a）＜0或△=0；
∴a∈（1，5）或a=

1

2

；
②当t=-1时，x有唯一解x=

3

2

π，
③当t=1时，x有唯一解x=

π

2

；
综上，当a∈（1，5）或a=

1

2

时，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有两解．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质，考查了函数与方程的应用问题，考查了换元法的应用问题，是综合性题目．