Question

【题目】如图，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.

(Ⅰ)求椭圆C的离心率；

(Ⅱ)已知△AF1B的面积为，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)

【解析】试题分析 ：(Ⅰ)由题意可知 为等边三角形；

(Ⅱ)法一：先求AB的方程为，代入椭圆方程解得

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试题解析：(Ⅰ)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝＝.

(Ⅱ)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－ (x－c)．

将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，

得B.又A(0， c)，所以|AB|＝＝c.

由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin ∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，c＝5，

则b2＝75，即b＝5.所以椭圆C的方程为：＋＝1. …………4分

法二：设|AB|＝t.因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.

由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a，可知|BF1|＝3a－t.

再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°，可得t＝a.

由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·a·＝a2＝40，

解得a＝10，则c＝5，b＝5.所以椭圆C的方程为：＋＝1. ………………10分