【题目】如图,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)已知△AF1B的面积为,求椭圆C的方程.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
【解析】试题分析 :(Ⅰ)由题意可知 为等边三角形
;
(Ⅱ)法一:先求AB的方程为,代入椭圆方程解得
.
试题解析:(Ⅰ)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a=2c,所以e==
.
(Ⅱ)法一:a2=4c2,b2=3c2,直线AB的方程为y=- (x-c).
将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,
得B.又A(0,
c),所以|AB|=
=
c.
由S△AF1B=|AF1|·|AB|sin ∠F1AB=
a·
c·
=
a2=40
,解得a=10,c=5,
则b2=75,即b=5.所以椭圆C的方程为:
+
=1. …………4分
法二:设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.
由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a,可知|BF1|=3a-t.
再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°,可得t=a.
由S△AF1B=|AF1|·|AB|·sin∠F1AB=
a·
a·
=
a2=40
,
解得a=10,则c=5,b=5.所以椭圆C的方程为:
+
=1. ………………10分
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【题目】如图,已知椭圆,点B是其下顶点,过点B的直线交椭圆C于另一点A(A点在
轴下方),且线段AB的中点E在直线
上.
(1)求直线AB的方程;
(2)若点P为椭圆C上异于A、B的动点,且直线AP,BP分别交直线于点M、N,证明:OM·ON为定值.
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【题目】如图是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式f(x)=anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的求值问题的算法.现按照这个程序执行函数f (x)=3x4﹣2x3﹣6x﹣17的计算,若输入的值x0=2,则输出的v的值是( )
A.0
B.2
C.3
D.﹣3
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【题目】如图,某商业中心O有通往正东方向和北偏东30方向的两条街道,某公园P位于商业中心北偏东角(
),且与商业中心O的距离为
公里处,现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A,B两处。
(1)当AB沿正北方向时,试求商业中心到A,B两处的距离和;
(2)若要使商业中心O到A,B两处的距离和最短,请确定A,B的最佳位置。
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【题目】已知函数f(x)=mex﹣x﹣1(其中e为自然对数的底数,),若f(x)=0有两根x1 , x2且x1<x2 , 则函数y=(e ﹣e
)(
﹣m)的值域为 .
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【题目】在△ABC中,角A、B、C对边分别为a、b、c,sinA+sinB=2sinC,a=2b.
(1)证明:△ABC为钝角三角形;
(2)若S△ABC=
,求c.
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【题目】随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
天气 | 晴 | 雨 | 阴 | 阴 | 阴 | 雨 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 晴 |
日期 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
天气 | 晴 | 阴 | 雨 | 阴 | 阴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 阴 | 晴 | 晴 | 晴 | 雨 |
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【题目】已知函数f(x)=|lgx|﹣( )x有两个零点x1 , x2 , 则有( )
A.x1x2<0
B.x1x2=1
C.x1x2>1
D.0<x1x2<1
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