Question

13．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=$\frac{ax}{x+a}$，a＞1．
（I）若函数f（x）与g（x）在x=1处切线的斜率相同，求a的值：
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单调区间：
（Ⅲ）讨论关于x的方程|f（x）|=g（x）的根的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）求出F（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；
（Ⅲ）设G（x）=|f（x）|-g（x），通过讨论G（x）的单调性，确定方程的根的个数即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，g′（x）=$\frac{{a}^{2}}{{（x+a）}^{2}}$，（a＞1，x＞-1），
由题意f′（1）=g′（1），即$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{（a+1）}^{2}}$，
整理得：a²-2a-1=0，解得：a=1+$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-$\frac{ax}{x+a}$，
F′（x）=$\frac{x[x-{（a}^{2}-2a）]}{{（x+a）}^{2}（x+1）}$，（x＞-1），
令F′（x）=0，解得：x=0或x=a²-2a，
①当a²-2a＞0，即a＞2时，
令F′（x）＞0，解得：-1＜x＜0或x＞a²-2a，
令F′（x）＜0，解得：0＜xa²-2a，
即F（x）在（-1，0），（a²-2a，+∞）递增，在（0，a²-2a）递减；
②当1＜a＜2时，a²-2a∈（-1，0），
F（x）在（0，+∞），（-1，a²-2a）递增，在（a²-2a，0）递减；
③a=2时，F′（x）≥0恒成立，F（x）在（-1，+∞）递增．
（Ⅲ）设G（x）=|f（x）|-g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1）-\frac{ax}{x+a}，（x≥0）}\\{-ln（x+1）-\frac{ax}{x+a}，（x＜0）}\end{array}\right.$，
当x≥0时，由（Ⅱ）得：a＞2时，G（x）在x=a²-2a取得极小值，
∵F（0）=0，∴F（a²-2a）＜0，取x₀=${e}^{{a}^{2}}$∈（a²-2a，+∞），
则F（${e}^{{a}^{2}}$）=ln（${e}^{{a}^{2}}$+1）-$\frac{{ae}^{{a}^{2}}}{{e}^{{a}^{2}}+a}$＞a²-$\frac{{ae}^{{a}^{2}}}{{e}^{{a}^{2}}+a}$=$\frac{{（a}^{2}-a{）e}^{{a}^{2}}{+a}^{3}}{{e}^{{a}^{2}}+a}$＞0，
∴F（x）在（a²-2a，+∞）存在零点，
∴此时方程|f（x）|=g（x），（x≥0）有2个根，
当1＜a≤2时，G（x）在（0，+∞）单调递增，此时方程|f（x）|=g（x），（x≥0）有1个根x=0，
当-1＜x＜0时，G′（x）=-$\frac{1}{x+1}$-$\frac{{a}^{2}}{{（x+a）}^{2}}$＜0，
∴G（x）在（-1，0）单调递减，∵G（0）=0，
∴方程|f（x）|=g（x）在（-1，0）无解，
综上：a＞2时，方程2个根，1＜a≤2时，方程1个根．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，难度较大，本题是一道综合题．