Question

1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知$\sqrt{3}$bcosA=asinB．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{7}$，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．
（Ⅱ）利用余弦定理可求c的值，通过三角形面积公式即可得解．

解答 解：（Ⅰ）asinB=$\sqrt{3}$bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，
∵B是三角形内角，∴sinB≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，A是三角形内角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵a=$\sqrt{7}$，b=2，A=$\frac{π}{3}$．
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得：7=4+c²-2×$2×c×\frac{1}{2}$，整理可得：c²-2c-3=0，
解得：c=3或-1（舍去），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．