Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是线段EF的中点
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求证：AM⊥平面BDF；
（3）求三棱锥M-BDE的体积V_M-BDE．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）建立坐标系，利用向量法证明

OE

=

AM

，即可得到AM∥平面BDE；
（2）利用向量法证明AM⊥平面BDF；
（3）根据三棱锥的体积公式即可求V_M-BDE．

解答： 解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：
O（0，0，0），A（0，1，0），B（-1，0，0），C（0，-1，0，），D（1，0，0，），
E（0，-1，1），F（0，1，1），M（0，0，1）．
（1）∵

OE

=（0，-1，1），

AM

=（0，-1，1），
∴

OE

=

AM

，即AM∥OE，
又∵AM?平面BDE，OE?平面BDE，
∴AM∥平面BDE；
（2）∵

BD

=（2，0，0），

DF

=（-1，1，1）
∴

AM

•

BD

=0，

AM

•

DF

=0-1+1=0，
∴AM⊥BD，AM⊥DF，
∵BD∩DF=D，
∴AM⊥平面BDF．
（3）∵AB=

2

，AF=1，
∴BD=AC=2，则OA=1，即四边形OAF为正方形，
连结OF，交AM于H，
则OH⊥AM，求OH⊥平面BDE，
∵AM∥平面BDE，
∴OH是点M到面BDE的距离．则OH=

1

2

OF=

2

2

，
∵OE=AM=

2

，
∴三棱锥M-BDE的体积V_M-BDE=

1

3

×

1

2

BD•OE•OH=

1

3

×

1

2

×2×

2

×

2

2

=

1

3

．

点评：本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直、平行关系，用空间向量求直线音质夹角、距离，用空间向量求平面间的夹角，其中建立空间坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出相关直线的方向向量和平面的法向量是解答本题的关键．