Question

已知是圆柱底面圆的直径， 是底面圆周上异于的任意一点，母线；

 (1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积的最大值．

Answer 1

（1）∵是底面圆周上异于的任意一点，是圆柱底面圆的直径，

∴BC⊥AC, ∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，∴AA₁⊥BC，

 ∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，ACÌ平面AA₁ C，

∴BC⊥平面AA₁C.

(2)解法1：设AC=x，在Rt△ABC中，

(0<x<2)

故(0<x<2),

即.

∵0<x<2，0<x²<4，∴当x²=2，即时，三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为

.解法2: 在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²=4，

.              

当且仅当 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=.

解法3:设，则在Rt△ABC中，，

.              

当且仅当即 AC=BC 时等号成立，此时AC=BC=．