Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωxcosφ+cos²ωxsinφ+$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{2}$+φ）（0＜φ＜π），其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，且过点（$\frac{π}{6}，\frac{1}{2}$）．
（I）求ω和φ的值；
（II）求函数y=f（2x），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 （I）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质和已知坐标，即可求函数ω和φ的值；
（II）求出函数y=f（2x）的解析式，根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]求出函数y=f（2x）的范围，在求其范围内的最大值和最小值，即可得到值域．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωxcosφ+cos²ωxsinφ+$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{2}$+φ）（0＜φ＜π），
?f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωxcosφ+cos²ωxsinφ-$\frac{1}{2}$sinφ
?f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωxcosφ+sinφ（cos²ωx-$\frac{1}{2}$）
?f（x）=$\frac{1}{2}$sin2ωxcosφ+$\frac{1}{2}$cos2ωxsinφ
?f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2ωx+φ），
（I）∵图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，∴T=2π，
又∵T=$\frac{2π}{|2ω|}$，∴ω=$±\frac{1}{2}$，
图象过点（$\frac{π}{6}，\frac{1}{2}$），∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（±1×$\frac{π}{6}$+φ），
解得：$φ=\frac{π}{3}或φ=\frac{2π}{3}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（x+$\frac{π}{3}$）或f（x）=$\frac{1}{2}$sin（-x+$\frac{2π}{3}$）；
（Ⅱ）∵y=f（2x），
∴y=f（2x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），【注意：只需要一个解析式即可，其实两个解析式化简是一样的】
又∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}$]，
结合正弦函数的图象和性质：当$x=\frac{π}{2}$时，y取得最大值，即${y}_{max}=\frac{1}{2}sin\frac{π}{2}=\frac{1}{2}$，
当$x=\frac{4π}{3}$时，y取得最小值，即${y}_{min}=\frac{1}{2}sin\frac{4π}{3}=\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）=-\frac{\sqrt{3}}{4}$，
所以函数y=f（2x），x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域为$[-\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{1}{2}]$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，三角函数的化简能力和计算能力，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．