Question

18．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=1+sinα\end{array}$，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（1）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）判断曲线C₁与曲线C₂的位置关系．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=1+sinα\end{array}$，（α为参数），消去参数可得普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=$\sqrt{2}$，利用互化公式公式化为直角坐标方程．
（2）利用点到直线的距离公式可得圆心C₁到直线C₂的距离d，与r比较即可得出位置关系．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=1+sinα\end{array}$，（α为参数），
消去参数可得普通方程：（x-2）²+（y-1）²=1，可得圆心C₁（2，1），半径r=1．
曲线C₂的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
展开可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}ρ$（sinθ+cosθ）=$\sqrt{2}$，化为：x+y-2=0．
（2）圆心C₁到直线C₂的距离d=$\frac{|2+1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1=r，
∴曲线C₁与曲线C₂的位置关系是相交．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、圆的标准方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．