Question

8．椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，圆O：x²+y²=1的切线l与椭圆C相交于A，B两点，满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当弦长|AB|=$\sqrt{3}$时，求切线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得：|AF₁|+|AF₂|=2a=4，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b²=a²-c²，联立解出即可得出．
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=±1，代入椭圆方程解出验证即可得出．
②当直线的l斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m．利用直线l与圆O相切，可得m²=1+k²．
把直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的标准方程得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）由已知得：|AF₁|+|AF₂|=2a=4，则a=2，
∵$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$c=\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，
∴椭圆C 的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=±1，
把l的方程代入$\frac{x^2}{4}+{y^2}-1$得：$y=±\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴|AB|=$\sqrt{3}$满足条件
②当直线的l斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m．
∵直线l与圆O相切，∴$\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，即m²=1+k²．
把直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的标准方程得：$\frac{x^2}{4}+{（{kx+m}）^2}=1$．
整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-4）=64k²-16m²+16=16k²-16（k²+1）+16=48k²≥0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{2\sqrt{△}}}{{2（{4{k^2}+1}）}}=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{2\sqrt{48{k^2}}}}{{2（{4{k^2}+1}）}}=\sqrt{3}$，
∴8k²=1，即$k=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，∵m²=1+k²，∴$m=±\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
综上所述，直线l的方程为：x=±1，$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}x±\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．