【题目】在海岸A处,发现北偏东45°方向,距A处( ﹣1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的缉私船奉命以10 海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间.
【答案】解:如图所示,设缉私船追上走私船需t小时, 则有CD= ,BD=10t.在△ABC中,
∵AB= ﹣1,AC=2,
∠BAC=45°+75°=120°.
根据余弦定理可求得BC= .
∠CBD=90°+30°=120°.
在△BCD中,根据正弦定理可得
sin∠BCD= ,
∵∠CBD=120°,∴∠BCD=30°,∠BDC=30°,
∴BD=BC= ,则有
10t= ,t= =0.245(小时)=14.7(分钟).
所以缉私船沿北偏东60°方向,需14.7分钟才能追上走私船.
【解析】设缉私船追上走私船需t小时,进而可表示出CD和BD,进而在△ABC中利用余弦定理求得BC,进而在△BCD中,根据正弦定理可求得sin∠BCD的值,进而求得∠BDC=∠BCD=30°进而求得BD,进而利用BD=10t求得t.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)设为参数,若,求直线的参数方程;
(2)已知直线与曲线交于,设,且,求实数的值.
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【题目】南京市江北新区计划在一个竖直长度为20米的瀑布正前方修建一座观光电梯。如图所示,瀑布底部距离水平地面的高度为60米,电梯上设有一个安全拍照口, 上升的最大高度为60米。设距离水平地面的高度为米, 处拍照瀑布的视角为。摄影爱好者发现,要使照片清晰,视角不能小于。
(1)当米时,视角恰好为,求电梯和山脚的水平距离。
(2)要使电梯拍照口的高度在52米及以上时,拍出的照片均清晰,请求出电梯和山脚的水平距离的取值范围。
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【题目】为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了10个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:mm)记录下来并绘制出如下的折线图:
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值;
(2)轮胎的宽度在内,则称这个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?
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【题目】已知A、B、C为△ABC的三个内角,且其对边分别为a、b、c,若cosBcosC﹣sinBsinC= .
(1)求角A;
(2)若a=2 ,b+c=4,求△ABC的面积.
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【题目】某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间(单位:分钟),从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组:第1组(0,10],第2组(10,20],第3组(20,30],第4组(30,40],第5组(40,50],得到的频率分布直方图如图所示.
(1)根据图中数据求a的值;
(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查,应从第3,4,5组各抽取多少名新生?
(3)在(2)的条件下,该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
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【题目】对一批共50件的某电器进行分类检测,其重量(克)统计如下:
质量段 | [80,85) | [85,90) | [90,95) | [95,100] |
件数 | 5 | a | 15 | b |
规定重量在82克及以下的为“A”型,重量在85克及以上的为“B”型,已知该批电器有“A“型2件
(1)从该批电器中任选1件,求其为“B”型的概率;
(2)从重量在[80,85)的5件电器中,任选2件,求其中恰有1件为“A”型的概率.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为().
(Ⅰ)设为参数,若,求直线的参数方程;
(Ⅱ)已知直线与曲线交于, ,设,且,求实数的值.
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