Question

3．在直角坐标系xOy中，过点$P（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}）$作倾斜角为α的直线L与曲线C：x²+y²=1相交于不同的两点M，N．
（1）若以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，写出C的极坐标方程和直线L的参数方程；
（2）求$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由曲线C：x²+y²=1，可得极坐标方程：ρ²=1．由题意可得直线L的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）把直线L的参数方程代入圆C的直角坐标方程可得：t²$（\sqrt{3}cosα+3sinα）$t+2=0，由△＞0，可得$|sin（α+\frac{π}{6}）|$＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$．于是$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$，把根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（1）由曲线C：x²+y²=1，可得极坐标方程：ρ²=1，即ρ=1．
直线L的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
（2）把直线L的参数方程代入圆C的直角坐标方程可得：t²$（\sqrt{3}cosα+3sinα）$t+2=0，
由△＞0，可得$|sin（α+\frac{π}{6}）|$＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$．t₁t₂=2．
∴$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{|\sqrt{3}cosα+3sinα|}{2}$=$\sqrt{3}$$|sin（α+\frac{π}{6}）|$∈$（\sqrt{2}，\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、直线参数方程的应用、三角函数求值、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．